布尔格中 $k$-链的饱和性

给定集合 $X$，若族 $\mathcal{F} \subset \mathcal{P}(X)$ 在集合包含关系下不包含长度为 $k+1$ 的链，则称其为 $k$-Sperner 族；若其关于此性质是极大的，则称其为饱和的。Gerbner 等人证明了最小的饱和 $k$-Sperner 系至少包含 $2^{k/2-1}$ 个元素，随后 Morrison、Noel 和 Scott 证明了此类集合包含的元素不超过 $2^{0.976723k}$ 个。我们改进了上下界，证明最小饱和 $k$-Sperner 系的大小介于 $\sqrt{k}2^{k/2}$ 和 $2^{0.961471k}$ 之间。