无划分的集族

令 $m(n)$ 表示不包含两个不相交集及其并集的子集族的最大规模。1968年，Kleitman证明了当 $n=3m+1$ 时，$m(n) = {n\choose m+1}+\ldots +{n\choose 2m+1}$。我们证实了Kleitman的猜想，对 $n=3m$ 和 $n=3m+2$ 的情形建立了相同的等式，并确定了所有极值族。与 $n=3m+1$ 的情形不同，极值族并不唯一。这可能是我们的证明相对困难的一个合理原因。我们也完全解决了多个族的情形。