具有有界 VC-维数的排列集合最大规模的紧确界

一个由 n-排列构成的族 P 的 VC-维数是最大的整数 k，使得 P 中排列在某些 k 个位置上的限制集合是所有 k! 种排列模式的集合。令 r_k(n) 为具有 VC-维数 k 的 n-排列集合的最大规模。Raz 证明了 r_2(n) 随 n 呈指数增长。我们证明 r_3(n)=2^Theta(n log(alpha(n)))，且对每个 s ≥ 4，我们得到了形如 2^{n poly(alpha(n))} 的几乎紧确的上下界。我们还研究了一个 n × n (0,1)-矩阵中，在不包含含有所有 (k+1)-排列矩阵的 (k+1)-列元组条件下，1-元的最大数量 p_k(n)。我们确定 p_3(n) = Theta(n alpha(n))，且对每个固定的 s ≥ 4，p_s(n) 可由形如 n 2^poly(alpha(n)) 的函数界定。我们还证明，对每个正数 s，存在一个缓慢增长的函数 zeta_s(m)（对每个固定的 s ≥ 5 形如 2^poly(alpha(m))），满足以下性质：对所有正整数 n 和 B 以及每个具有 zeta_s(n)Bn 个 1-元的 n × n (0,1)-矩阵 M，M 的行可被划分为 s 个区间，使得至少有 B 列在每个区间中都至少包含 B 个 1-元。