用置换粉碎k-集

极值集合论中的许多概念在置换族中都有对应物。本文关注置换的粉碎(shattering)概念。若X的一个k-集在族$\mathcal{P}$中的某些置换里以k!种可能顺序的每一种出现，则称X上的置换族$\mathcal{P}$粉碎该k-集。已知粉碎X的每个k-子集的最小族$\mathcal{P}$的大小为$\Theta(\log n)$。我们的目标是引入并研究这一粉碎问题的两个自然部分版本。第一个主要结果涉及族只需包含k!种可能顺序中的t种的情形。当k=3时，我们证明根据t存在三种不同的状态：常数级、$\Theta(\log\log n)$级、$\Theta(\log n)$级。我们还证明对于更大的k，同样存在这些状态，尽管它们可能未覆盖所有t值。我们的第二个方向涉及确定给定大小族可完全粉碎的最大k-集数量问题。我们证明对任意n，6个置换组成的族足以粉碎所有三元组的$\frac{17}{42}$到$\frac{11}{14}$比例。