标准单项与极值点集

我们称集系统 $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$ 粉碎（shatters）集合 $S\subseteq [n]$，如果 $S$ 的每一个可能子集都作为 $S$ 与 $\mathcal{F}$ 中某个元素的交集出现，并记 $\text{Sh}(\mathcal{F})$ 为被 $\mathcal{F}$ 粉碎的集合族。根据 Sauer-Shelah 引理，我们知道一般而言每个集系统 $\mathcal{F}$ 至少粉碎 $|\mathcal{F}|$ 个集合，并称集系统为粉碎极值的（shattering-extremal），若 $|\text{Sh}(\mathcal{F})|=|\mathcal{F}|$。M\'esz\'aros 和 R\'onyai 除其他结果外，给出了粉碎极值性的代数刻画，这提供了将该概念推广到一般有限点集的可能性。在此我们将对集系统所得的结果推广到这一更一般的情形，并作为应用，加强了 Li、Zhang 和 Dong 的一个结果。