MAD 族的 combinatorial 性质

我们研究 $\textsf{MAD}$ 族的一些强 combinatorial 性质。一个理想 $\mathcal{I}$ 是 Shelah-Stepr\={a}ns 的，如果对于每一集合 $X\subseteq{\left[ \omega\right]}^{<\omega}$，存在 $\mathcal{I}$ 的一个元素，它要么与 $X$ 中每个集合相交，要么包含 $X$ 的无穷多个成员。我们证明一个 Borel 理想是 Shelah-Stepr\={a}ns 的当且仅当它在 Kat\v{e}tov 意义下高于理想 $\textsf{fin}\times\textsf{fin}$。我们证明 Shelah-Stepr\={a}ns $\textsf{MAD}$ 族具有强不可破坏性性质（特别地，它们既是 Cohen 不可破坏的也是随机不可破坏的）。我们也考虑 $\textsf{MAD}$ 族的一些其他强 combinatorial 性质。最后，证明了 $\mathrm{non}(\mathcal{M}) = {\aleph}_{1}$ 且不存在大小为 ${\aleph}_{1}$ 的 Shelah-Stepr\={a}ns 族是一致的。