部分塌埋置换的小型族群

我们说一族置换 $t$-shatters 一个集合，如果它在该集合上引发至少 $t$ 个不同的置换。 minimum number $f_k(n,t)$ 的含义是哪些大小为 $k$ 的子集都被 $t$-shatter 所需的置换数量？对于 $t \le 2$，$f_k(n,t) = \Theta(1)$。 Spencer 证明当 $3 \le t \le k$ 时，$f_k(n,t) = \Theta(\log \log n)$，而 $f_k(n,k!) = \Theta(\log n)$。1996 年，F"uredi 询问部分置换塌埋是否总是落入这三种情形之中。Johnson 和 Wickes 最近在 $k=3$ 的情况下得到肯定答案，并证明当 $t > 2 (k-1)!$ 时，$f_k(n,t) = \Theta(\log n)$。我们给出一个令人惊讶的否定答案，说明 F"uredi 的问题：当 $k \ge 4$ 时，存在第四种情形。我们证明当 $t$ 取满足特定条件的值时，$f_k(n,t) = \Theta(\sqrt{\log n})$，并证明当 $k=4$ 时，这是唯一的另一种情形。我们还表明当 $t > 2^{k-1}$ 时，$f_k(n,t) = \Theta(\log n)$。这大大缩小了 $f_k(n,t)$ 渐近行为未知的 $t$ 范围。