贝克三排列猜想的一个简化反证及其在均方根偏差上的应用
组合数学
2018-11-29 v3 离散数学
摘要
n个顶点上的k-排列族是由整数1到n的k个排列的区间构成的集合系统。一个集合系统的偏差是指在所有红蓝顶点着色下，系统中任意集合内红顶点与蓝顶点数量之差的最大值的最小值。2011年，Newman与Nikolov推翻了Beck的一个猜想，即任意3-排列族的偏差至多为与n无关的常数。此处我们给出一个更简单的证明，表明Newman与Nikolov的3-排列族序列的偏差为Ω(log n)。我们还给出了一组6-排列族序列，其均方根偏差为Ω(√log n)；即在任意红蓝顶点着色下，系统某一区间内红蓝顶点数之差的期望的平方根为Ω(√log n)。
引用
@article{arxiv.1811.01102,
title = {A simplified disproof of Beck's three permutations conjecture and an application to root-mean-squared discrepancy},
author = {Cole Franks},
journal= {arXiv preprint arXiv:1811.01102},
year = {2018}
}
备注
Added a comparison of the root-mean-squared discrepancy result to the lower bounds in (Constructive Discrepancy Minimization with Hereditary L2 Guarantees, Kasper Green Larsen, 2017), and (The determinant bound for discrepancy is almost tight, Jiri Matousek, Proceedings of the American Mathematical Society, 2013)