小 VC 维的粉碎极值集系

若 $2^S={F \cap S : F \in \mathcal{F}}$，则称集系 $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$ 粉碎给定集合 $S\subseteq [n]$。Sauer 不等式指出，一般而言，集系 $\mathcal{F}$ 至少粉碎 $|\mathcal{F}|$ 个集合。本文专注于相等的情况。若一个集系恰好粉碎 $|\mathcal{F}|$ 个集合，则称其为粉碎极值集系。我们根据包含图刻画了 Vapnik-Chervonenkis 维数为 1 的粉碎极值集系。此外，从极值性的角度，我们将有界 Vapnik-Chervonenkis 维数的集系与其投影联系起来。