VC 维至多为 2 的粉碎极值集系

如果 $2^S=\{F \cap S : F \in \mathcal{F}\}$，我们称集系 $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$ 粉碎给定集合 $S\subseteq [n]$。Sauer 不等式指出，一般而言，集系 $\mathcal{F}$ 至少粉碎 $|\mathcal{F}|$ 个集合。本文专注于相等的情况。若一个集系恰好粉碎 $|\mathcal{F}|$ 个集合，则称其为粉碎极值集系。在本文中，我们根据其包含图刻画了 Vapnik-Chervonenkis 维数为 $2$ 的粉碎极值集系，并作为推论，回答了 \cite{VC1} 中关于在 Vapnik-Chervonenkis 维数为 $2$ 的集族情况下从粉碎极值集系中剔除元素的一个开放问题。