Pach 选择定理不容许拓扑推广

设 $U_1,\dots, U_{d+1}$ 为 $R^d$ 中的 $n$ 元集，并令 $\langle u_1,\ldots,u_{d+1}\rangle$ 表示点 $u_i$ 在 $U_i$ 中（对所有 $i$）的凸包，它是一个（可能退化的）单纯形。Pach 选择定理指出，存在集合 $Z_1 \subset U_1,\dots, Z_{d+1} \subset U_{d+1}$ 和 $R^d$ 中的一个点 $u$，使得每个 $|Z_i| > c_1(d)n$，且对于 $Z_1$ 中每个 $z_1$、……、$Z_{d+1}$ 中每个 $z_{d+1}$ 的每一种选择，$u$ 都属于 $\langle z_1,...,z_{d+1} \rangle$。本文我们证明，该定理不容许具有线性大小集合 $Z_i$ 的拓扑推广。然而，存在一种拓扑推广，其中每个 $|Z_i|$ 的量级为 $(\log n)^(1/d)$。