第一选择引理的简短证明及运动点的弱 $\frac{1}{r}$-网

(i) 我们提供了第一选择引理的一个简短而简单的证明。(ii) 我们还在 $\Re^d$ 中证明了一类新型的选择引理。例如，当 $d=2$ 且假设 $n$ 足够大时，我们证明对于任意处于一般位置的 $n$ 点集 $P$，存在 $\Omega(n^4)$ 对由 $P$ 张成的线段，它们全部相交于由 $P$ 张成的某个固定三角形内。(iii) 最后，我们将弱 $\frac{1}{r}$-网定理扩展到一种动力学情形，其中底层点集以有界描述复杂度的多项式方式运动。我们确定可以找到弱 $\frac{1}{r}$-网的一个动力学类似物 $N$，其基数为 $O(r^{\frac{d(d+1)}{2}}\log^{d}r)$，其点以有界描述复杂度的有理函数坐标运动。此外，$N$ 的每个成员都有一个多项式坐标。