曲面上少相交曲线的填充

Przytycki 已证明，在拓扑曲面 $S$ 上两两相交至多 $k$ 次的简单闭曲线之极大集合的大小 $\mathcal{N}_{k}(S)$ 至多以 $|\chi(S)|$ 的 $k^{2}+k+1$ 次多项式增长。在本文中，我们收紧了 Przytycki 的界，证明 $$\mathcal{N}_{k}(S) =O \left( \frac{ |\chi|^{3k}}{ ( \log |\chi| )^2 } \right) ,$$ 特别地，极大 1-系统的大小在 $|\chi(S)|$ 中次立方增长。证明使用了 Aougab-Souto 的圆填充论证以及双曲曲面上长度至多 $L$ 的曲线的数目界。当亏格 $g$ 固定而穿孔数 $n$ 增长时，我们用不同的论证改进估计，得到 $$\mathcal{N}_{k}(S) \leq O(n^{2k+2}) .$$ 使用类似技术，我们还得到了当 $k=2$ 且 $g$ 固定时的精确估计 $\mathcal{N}_{2}(S)=\Theta(n^3)$。