关于有限度图的 $S$- packing 着色问题

给定序列$S=(s_1,s_2,\ldots,s_p)$，$p\geq 2$，的非递减整数，图$G$的$S$-packing着色是将其顶点集合划分为$p$个互斥集合$V_1,\ldots, V_p$，使得其中任意两个互异顶点$V_i$的距离大于$s_i$，$1\le i\le p$。本文研究有限最大度图上的$S$-packing着色问题，序列主要包含1和2($i^r$表示$i$重复$r$次)。在子三角形图上现有结果的基础上，我们证明了最大度为$k$的图的一系列结果：我们证明最大度为$k$的图是$(1^{k-1},2^k)$-packing可染色。此外，我们针对受限子类进行了细化：最大度为$k$的图称为$t$-饱和，$0\le t\le k$，若其每个度为$k$的顶点都与至多$t$个度为$k$的顶点相邻。我们证明最大度为$k\ge 3$的图是$(1^{k-1},3)$-packing可染色如果它是0-饱和，$(1^{k-1},2)$-packing可染色如果它是$t$-饱和，$1\leq t\leq k-2$；且$(1^{k-1},2^{k-1})$-packing可染色如果它是$(k-1)$-饱和。我们还提出了一些猜想和问题。