距离图 $G(\mathbb{Z},\{2,t\})$ 的 $S$-填充染色

给定图 $G$ 和非递减正整数序列 $S=(a_1,a_2,\ldots)$，映射 $f:V(G) \rightarrow \{1,\ldots,k\}$ 是 $G$ 的一个 $S$-填充 $k$-染色，若对任意满足 $f(u)=f(v)=i$ 的不同顶点 $u,v\in V(G)$，在 $G$ 中 $u$ 与 $v$ 之间的距离大于 $a_i$。使得 $G$ 具有 $S$-填充 $k$-染色的最小 $k$ 称为 $G$ 的 $S$-填充色数 $\chi_S(G)$。本文考虑距离图 $G(\mathbb{Z},\{2,t\})$，其中 $t>1$ 为奇数，其顶点集为 $\mathbb{Z}$，且 $i,j\in\mathbb{Z}$ 相邻当且仅当 $|i-j|\in\{2,t\}$。我们确定了当 $S$ 为任意满足对所有 $i$ 有 $a_i\in\{1,2\}$ 的序列时，图 $G(\mathbb{Z},\{2,t\})$ 的 $S$-填充色数。此外，我们给出了距离图 $G(\mathbb{Z},\{2,t\})$ 的 $d$-距离色数的下界和上界，在 $d\ge t-3$ 的情形下给出了精确值。并讨论了其对循环图相应 $S$-填充色数的启示。