关于某些模形式系数的典型大小与相消

我们获得了几乎所有实数序列元素的非平凡上界，这些序列是乘性的，且在素数索引处根据 Sato--Tate 密度分布。此类序列的例子来自椭圆曲线和模形式的若干 $L$-函数的系数。特别地，我们证明了对于渐近密度为 1 的 $n$ 集合，有 $|\tau(n)|\le n^{11/2} (\log n)^{-1/2+o(1)}$，其中 $\tau(n)$ 是 Ramanujan $\tau$ 函数，而标准论证在对数幂中给出的是 $\log 2$ 而非 $-1/2$。我们结果的另一个推论是，对于几乎所有整数 $n$，二元二次型表示 $n$ 的数量中存在略多于平方根级别的相消。此外，假设关于收敛到 Sato--Tate 律速率的弱假设，我们获得了此类序列的中心极限定理。对于本原全纯尖形式的 Fourier 系数，此类假设在假设该形式的所有对称幂具有自守性条件下已知成立，并且利用目前建立的潜在自守性似乎无条件地也在可及范围内。