Hecke 尖形式傅里叶系数的单调链

我们证明了关于算术归一化全纯 Hecke 尖形式 $f_1,\ldots,f_k$（无复乘、等权、平方自由水平（可能不同）及平凡旁型）傅里叶系数的一般等分布陈述（含条件与无条件）。作为首个应用，我们证明对 Ramanujan $\tau$ 函数及任意可容许的 $k$ 元互异非负整数组 $a_1,\ldots,a_k$，集合 $$\{n \in \mathbb{N} : |\tau(n+a_1)| < \cdots < |\tau(n+a_k)|\}$$ 具有正自然数密度。该结果改进了 Bilu、Deshouillers、Gun 与 Luca 近期的工作 [Compos. Math. (2018), no. 11, 2441-2461]。其次，我们在理解带符号版本上取得进展，证明对任一可容许互异非负整数三元组 $(a_1,a_2,a_3)$，集合 $$\{n \in \mathbb{N} : \tau(n+a_1) < \tau(n+a_2) < \tau(n+a_3)\}$$ 的相对上密度至少为正 $1/6$。更一般地，对此类长度 $k > 3$ 的不等式链，我们证明在 Elliott 关于乘性函数相关的猜想假设下，该集合的相对自然数密度为 $1/k!$。此前此类结果仅对 $k\le 2$ 作为 Serre 及 Matomäki 与 Radziwill 工作的推论而已知。我们的结果关键依赖于若干要素：i) 函数 $n \mapsto \log|\tau(n)|$ 的多变量 Erdős-Kac 型定理（以 $n$ 属于 $\tau$ 非零集为条件），推广了 Luca、Radziwill 与 Shparlinski 的工作；ii) Newton 与 Thorne 近期关于 $\text{GL}(n)$（$n \geq 2$）对称幂 $L$-函数函子性的突破及其在 Sato-Tate 猜想定量形式中的应用；iii) Tao 与 Teräväinen 关于对数 Elliott 猜想的工作。