Tau 函数值集的密度

本文证明了判别式函数 $\Delta(z)$（一个级为 $N = 1$、权为 $k = 12$ 的尖点形式）的第 $n$ 个系数 $\mathrm{Tau}(n)$ 的值集 $\{\mathrm{Tau}(n): n \le x\}$ 的密度具有下界 $\#\{\mathrm{Tau}(n): n \le x\} \gg x/\log x$。目前已知的密度为 $\#\{\mathrm{Tau}(n) : n \le x\} \gg x^{1/2+o(1)}$，而期望的密度为 $\#\{\mathrm{Tau}(n) : n \le x\} \sim x$。作为该分析的一个奇异情形出现的方程 $\mathrm{Tau}(p) = 0$（对所有素数 $p \ge 2$）的解集也在文中进行了讨论。