齐次 Cantor 测度的点态密度与临界值

设 $N\ge 2$ 且 $\rho\in(0,1/N^2]$。齐次 Cantor 集 $E$ 是由迭代函数系 $$\left\{f_i(x)=\rho x+\frac{i(1-\rho)}{N-1}: i=0,1,\ldots, N-1\right\}.$$ 生成的自相似集。设 $s=\dim_H E$ 为 $E$ 的 Hausdorff 维数，并设 $\mu=\mathcal H^s|_E$ 为限制于 $E$ 的 $s$ 维 Hausdorff 测度。本文对每一 $x\in E$，描述了 $\mu$ 在 $x$ 处的点态下 $s$-密度 $\Theta_*^s(\mu,x)$ 与上 $s$-密度 $\Theta^{*s}(\mu, x)$。这推广了 Feng 等人（2000）的一些早期结果。此外，我们分别为集合 $$E_*(a)=\left\{x\in E: \Theta_*^s(\mu, x)\ge a\right\}\quad\textrm{和}\quad E^*(b)=\left\{x\in E: \Theta^{*s}(\mu, x)\le b\right\}$$ 确定了两个临界值 $a_c$ 和 $b_c$，使得 $\dim_H E_*(a)>0$ 当且仅当 $a<a_c$，且 $\dim_H E^*(b)>0$ 当且仅当 $b>b_c$。我们强调，两个值 $a_c$ 和 $b_c$ 都与 Thue-Morse 型序列相关，而我们寻找它们的策略依赖于开放动力学的思想与词组合学的技术。