超度量康托尔集与测度的增长

最近文献中引入的一类超度量康托尔集 $(C, d_{u})$ (Raut, S and Datta, D P (2009), Fractals, 17, 45-52) 被证明具有一些新颖的性质。超度量 $d_{u}$ 是利用{\em 相对无穷小}的概念和{\em 反转}规则定义的。相关的(无穷小)赋值被证明具有尺度和重参数化不变性，并被等同于与康托尔集 $\tilde C$ 相关的康托尔函数，其中相对无穷小被认为存在于该集合中。与通常度量诱导的拓扑相比，这些超度量在度量上和拓扑上都是不等价的。原始康托尔集 $C$ 的每一点都被等同于 $\tilde C$ 的间隙集的闭包。在这种超度量空间上的增量是通过遵循反转规则来完成的。因此，康托尔函数被重新解释为在这些扩展的超度量空间上(处处)局部常数。在这种超度量空间上研究了一个有趣的现象，称为{\em 测度的增长}。利用赋值的重参数化不变性，展示了勒贝格测度为零的康托尔集的尺度因子如何可能发生{\em 形变}，从而产生一个具有正测度的{\em 形变}康托尔集。引入了一个新的{\em 赋值指数}的定义，并证明在正测度(胖)康托尔集的情况下，该指数给出了胖度指数。然而，赋值指数也可用于区分具有相同豪斯多夫维数和厚度的康托尔集。明确构造了一类豪斯多夫维数为 $\log_3 2$ 且厚度为 1 的康托尔集。