Gromov–Hausdorff空间中的分形维数

本文首先证明：对任意四个非负实数，存在一个Cantor超度量空间，其Hausdorff维数、填充维数、上盒维数与Assouad维数分别等于给定的四个数。接着，通过利用度量空间的直接和构造任意紧可度量化空间到Gromov–Hausdorff空间中的拓扑嵌入，我们证明：所有具有给定拓扑维数及上述四种维数的紧度量空间之集合，以及所有紧超度量空间之集合，均是道路连通的且具有无限拓扑维数。这一关于超度量的观察给出了Qiu定理的另一证明，该定理指出Archimedean与non-Archimedean的Gromov–Hausdorff距离之比无界。