四角 Cantor 集的投影:完全自相似性、谱与唯一编码

给定 $\rho\in (0,1/4]$,四角 Cantor 集 $E\subset \mathbb{R}^{2}$ 是由迭代函数系统 $$\left\{(\rho x, \rho y), \quad(\rho x, \rho y+1-\rho),\quad (\rho x+1-\rho, \rho y),\quad(\rho x+1-\rho,\rho y+1-\rho)\right\}$$ 生成的自相似集。对 $\theta\in[0,\pi)$,令 $E_\theta$ 为 $E$ 到与 $x$ 轴夹角为 $\theta$ 的直线上的正交投影。本文完整刻画了投影 $E_\theta$ 何时为完全自相似。我们还研究了 $E_\theta$ 的谱,结果表明 $E_\theta$ 的谱达到最大值当且仅当 $E_\theta$ 完全自相似。此外,当 $E_\theta$ 完全自相似时,我们计算其 Hausdorff 维数并研究由所有具有唯一编码的 $x\in E_\theta$ 组成的子集 $U_\theta$。特别地,我们证明对 Lebesgue 几乎处处的 $\theta \in[0,\pi)$ 有 $\dim_H U_\theta=\dim_H E_\theta$。最后,对 $\rho=1/4$ 我们描述了 $E_\theta$ 包含区间的 $\theta$ 的分布。结果表明,$E_\theta$ 包含区间的可能性小于其发生精确重叠的可能性。