Cantor 测度的谱

设 $\mu_{q, b}$ 为与迭代函数系统 $f_i(x)=x/b+i/q, 0\le i\le q-1$ 相关联的 Cantor 测度，其中 $2\le q, b/q\in \Z$。本文考虑 Cantor 测度 $\mu_{q, b}$ 的谱与极大正交集及其有理缩放。我们引入一个量来度量与 Cantor 测度 $\mu_{q, b}$ 的极大正交集对应的标记树中一个分支与其子分支之间的层级差异，并将该量的某种有界性质作为 Cantor 测度 $\mu_{q, b}$ 的极大正交集成为其谱的充分必要条件。我们证明，若整数缩放集 $K\Lambda$ 是极大正交集，则它仍是谱，并给出了整数缩放集成为极大正交集的一个简单刻画。作为上述刻画的应用，我们求出了所有使得 $K\Lambda_4$ 成为 Cantor 测度 $\mu_{2, 4}$ 的谱的整数 $K$，其中 $\Lambda_4:=\{\sum_{n=0}^\infty d_n 4^n: d_n\in \{0, 1\}\}\subset \Z$ 是 Cantor 测度 $\mu_{2, 4}$ 已知的第一个谱。最后，我们讨论了有理缩放谱，并为 Cantor 测度 $\mu_{q, b}$ 构造了一个谱 $\Lambda$，使得 $\Lambda/(b-1)$ 是极大正交集但不是谱。