与算子分形相关的标量谱测度

我们考察定义在 $L^2(\mu_{\frac14})$ 上的算子 $U_5$，其中 $\mu_{\frac14}$ 是 1/4 Cantor 测度。算子 $U_5$ 将 $L^2(\mu_{\frac14})$ 的规范指数谱元素缩放 5 倍——即 $Ue_{\gamma} = e_{5\gamma}$，其中 $e_{\gamma}(t) = e^{2\pi i \gamma t}$。已知 $U_5$ 具有自相似结构，这使得其目前未知的谱显得尤为有趣。为了更好地理解 $U_5$ 的谱，我们展示了与 $U_5$ 相关的投影值测度和标量谱测度的分解。我们还能够计算标量测度之间相关的 Radon-Nikodym 导数。我们的分解利用了一组构成 Cuntz 代数 $\mathcal{O}_2$ 表示的算子系统。