谱含于 Cantor 集中的算子幂的增长性

对 $\xi \in \big(0, {1/2} \big)$，记 $E_{\xi}$ 为与 $\xi$ 相关联的完美对称集，即 $$E_{\xi} = \Big\{\exp \big(2i \pi (1-\xi) \dsp \sum_{n = 1}^{+\infty} \epsilon_{n} \xi^{n-1} \big) : \epsilon_{n} = 0 \textrm{or} 1 \quad (n \geq 1) \Big\}.$$ 设 $s$ 为一非负实数，$T$ 为 Banach 空间上的可逆有界算子，其谱包含于 $E_{\xi}$ 中。我们证明若 \begin{eqnarray*} & & \big\| T^{n} \big\| = O \big(n^{s} \big), n \to +\infty & \textrm{and} & \big\| T^{-n} \big\| = O \big(e^{n^{\beta}} \big), n \to +\infty \textrm{对某个} \beta < \frac{\log{\frac{1}{\xi}} - \log{2}}{2\log{\frac{1}{\xi}} - \log{2}}, \end{eqnarray*} 则对任意 $\e > 0$，$T$ 满足更强的性质 $$\big\| T^{-n} \big\| = O \big(n^{s+{1/2}+\e} \big), n \to +\infty.$$ 该结果是关于谱满足某些几何条件的算子的一个更一般结果的特例。