关于谱包含于 Cantor 集的算子幂与谱综合

对于 $\xi \in \big( 0, \frac{1}{2} \big)$，令 $E_{\xi}$ 为与 $\xi$ 相关的完美对称集，即 $$E_{\xi} = \Big\{ \exp \Big( 2i \pi (1-\xi) \sum_{n = 1}^{+\infty} \epsilon_{n} \xi^{n-1} \Big) : \, \epsilon_{n} = 0 \textrm{ or } 1 \quad (n \geq 1) \Big\}$$ 以及 $$b(\xi) = \frac{\log{\frac{1}{\xi}} - \log{2}}{2\log{\frac{1}{\xi}} - \log{2}}.$$ 令 $q\geq 3$ 为整数，$s$ 为非负实数。我们证明，Banach 空间上任何谱包含在 $E_{1/q}$ 中的可逆算子 $T$，若满足 \begin{eqnarray*} & & \big\| T^{n} \big\| = O \big( n^{s} \big), \,n \rightarrow +\infty \\ & \textrm{and} & \big\| T^{-n} \big\| = O \big( e^{n^{\beta}} \big), \, n \rightarrow +\infty \textrm{ for some } \beta < b(1/q),\end{eqnarray*} 则亦满足更强的性质 $\big\| T^{-n} \big\| = O \big( n^{s} \big), \, n \rightarrow +\infty.$ 我们还证明，当 $1/\xi$ 不是 Pisot 数时，该结果对 $E_\xi$ 不成立，且常数 $b(1/q)$ 是最优的。作为推论，我们证明：若 $\omega$ 为次乘性权重，满足 $\omega(n)=(1+n)^s, \, (n \geq 0)$ 且 $C^{-1} (1+|n|)^s \leq \omega(-n) \leq C e^{n^{\beta}},\, (n\geq 0)$（对某常数 $C>0$ 及 $\beta < b( 1/q)$），则 $E_{1/q}$ 在单位圆 $\mathbb{T}$ 上所有满足 $\sum_{n = -\infty}^{+\infty} | \widehat{f}(n) | \omega (n) < +\infty$ 的连续函数 $f$ 构成的 Beurling 代数中满足谱综合。