第四 Severi 簇的偶 Clifford 结构

埃尔米特对称空间 $M=\mathrm{EIII}$ 出现在带有平行偶 Clifford 结构的完备单连通黎曼流形的分类中。这意味着在其上存在一个实定向欧几里得向量丛 $E$，以及一个代数丛态射 $\varphi:\mathrm{Cl}^0(E) \rightarrow \mathrm{End}(TM)$ 将 $\Lambda^2 E$ 映入斜对称自同态，并且在 $E$ 上存在一个与 $\varphi$ 相容的度量联络。我们给出这样一个向量丛 $E$ 作为 $\mathrm{End}(TM)$ 的子丛的显式描述。由此我们构造了 $\mathrm{EIII}$ 上的一个典范微分 8-形式，与其和乐群 $\mathrm{Spin}(10) \cdot \mathrm{U}(1) \subset \mathrm{U}(16)$ 相关联，它代表了其上同调环的一个生成元。我们通过将 $\mathrm{EIII}$ 视为已知为第四 Severi 簇的光滑射影簇 $V_{(4)} \subset \mathbb{C}P^{26}$，将其与 Schubert 循环结构相联系。