部分商之和以特定速度增长的实数满维集

对于实数 $x\in(0,1)\setminus\mathbb{Q}$，令 $x=[a_1(x),a_2(x),\cdots]$ 为其连分数展开。设 $s_n(x)=\sum_{j=1}^n a_j(x)$。E. Cesaratto、B. Vallée、J. Wu、J. Xu、G. Iommi、T. Jordan、L. Liao、M. Rams 等人研究了水平集 $E_{\varphi(n),\alpha}:=\{x\in(0,1): \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{s_n(x)}{\varphi(n)}=\alpha\}$ 在 $\alpha\geq 0$ 和非递减序列 $\{\varphi(n)\}_{n=1}^\infty$ 下的 Hausdorff 维数。本文进行了一种逆向研究，即考虑在何种 $\varphi(n)$ 条件下可期望得到一个 1 维集合 $E_{\varphi(n),\alpha}$。我们给出了当 $E_{\varphi(n),\alpha}$ 的 Hausdorff 维数为 1 时 $\varphi(n)$ 增长速度的某些上下界，以及一类使 $E_{\varphi(n),\alpha}$ 为满维的新序列 $\{\varphi(n)\}_{n=1}^\infty$。文中还讨论了非正则情形下的该问题。