极值样本范数的极限律

令 $S_n(p) = k_n^{-1} \sum_{i=1}^{k_n} \left( \log (X_{n+1-i,n} / X_{n-k_n, n}) \right)^p$，其中 $p > 0$，$k_n \leq n$ 是一列整数且满足 $k_n \to \infty$ 与 $k_n / n \to 0$，$X_{1,n} \leq \ldots \leq X_{n,n}$ 是具有正则变化上尾的 iid 随机变量的次序统计量。估计量 $\widehat \gamma(n) = (S_n(p)/\Gamma(p+1))^{1/p}$ 是 Hill 估计量的一种推广。我们研究了 $S_n(p)$ 与 $\widehat \gamma(n)$ 在固定 $p > 0$ 以及 $p = p_n \to \infty$ 时的渐近性质。我们在适当假设下证明了强相合性与渐近正态性。应用于实际数据我们发现，对于较大的 $p$，该估计量对 $k_n$ 变化的敏感度低于 Hill 估计量。