估计器与其目标值相差至少 epsilon 次数的第二阶渐近分析

设 $\widehat\theta_n$ 为基于前 n 项观测值的一致性序列估计器，用于估计参数 $\theta$。考虑 $Q_\varepsilon$，即 $|\widehat\theta_n-\theta|\ge\varepsilon$ 的次数。在另一篇文献中(Hjort 和 Fenstad, 1992)我们已证明 $\varepsilon^2 Q_\varepsilon$ 在 $\varepsilon\to0$ 时具有极限分布，该分布仅取决于 $\sqrt{n}(\widehat\theta_n-\theta)$ 的极限分布的标准差 $\sigma$，在满足某些自然正则条件后成立。本文进一步研究 $Q_\varepsilon$ 变量之间的差值的第二阶渐近分析。计算 ${\rm E}(Q_{1,\varepsilon}-Q_{2,\varepsilon})$ 的极限，在 ${\rm E} Q_{1,\varepsilon}/{\rm E} Q_{2,\varepsilon}$ 趋于 1 的情况下，引出在渐近相对效率为 1 时的"渐近相对不足"概念。用于区分具有相同极限分布的竞争性估计器。例如，在估计正态方差时，使用分母为 $n-1/3$ 的公式优于 $n$ 和 $n-1$ 以及其他所有选择，因其能导致最小的预期 $\varepsilon$ 错误次数。本文在若干熟悉的估计问题中找到此类结果，利用期望差的极限结果，并与 Hjort 与 Lehmann 的渐近相对不足分析进行比较。同时也得到一些第二阶分布结果：证明 $\varepsilon$ 乘以 $Q_\varepsilon$ 差，趋于与 Brownian 运动相关的指数分布变量，后者由 Hjort 和 Khasminskii(1993)近期研究。