Quickselect 算法运行时间的 Dickman 逼近的非渐近分布界

给定一个非负随机变量 $W$ 和 $\theta>0$，设广义 Dickman 变换将 $W$ 的分布映射为 $$W^*=_d U^{1/\theta}(W+1),$$ 其中 $U \sim {\cal U}[0,1]$ 是单位区间上的均匀分布变量，独立于 $W$，且 $=_d$ 表示分布相等。众所周知，$W^*$ 和 $W$ 分布相等当且仅当 $W$ 具有广义 Dickman 分布 ${\cal D}_\theta$。我们证明了具有有限均值的非负随机变量 $W$ 与具有分布 ${\cal D}_\theta$ 的 $D_\theta$ 之间的 Wasserstein 距离 $d_1$ 满足不等式 $$d_1(W,D_\theta) \le (1+\theta)d_1(W,W^*).$$ 将此界特化到 $\theta=1$ 的情况并结合耦合构造，可得 d_1(W_{n,1},D) \le \frac{8\log (n/2)+10}{n} \quad \mbox{对于所有 $n \ge 1$，其中} \quad W_{n,1}=\frac{1}{n}C_{n,1}-1, 这里 $C_{n,m}$ 是 Quickselect 算法在 $n$ 个不同数的列表中查找第 $m^{th}$ 小元素所需的比较次数。类似的界对 $m \ge 2$ 也成立，Together 恢复了文献 [12] 的结果，即在渐近区域 $m=o(n)$ 下 $W_n$ 收敛于标准 Dickman 分布。通过推导期望运行时间 $E[C_{n,m}]$ 的精确表达式，我们提供了下界，表明对于所有 $m \not = 2$，该速率是不可改进的。