平滑 1-Wasserstein 距离的极限分布理论及其应用

平滑 1-Wasserstein 距离 (SWD) $W_1^\sigma$ 近来被提出作为在经验近似中缓解维度灾难同时保留 Wasserstein 结构之手段。事实上，SWD 展现出参数收敛速率并继承了经典 Wasserstein 距离的度量与拓扑结构。受上述启发，本工作对 SWD 进行详尽统计研究，包括经验 $W_1^\sigma$ 的高维极限分布结果、自助法一致性、集中不等式及 Berry-Esseen 型界。所推导的非退化极限与经典经验 $W_1$ 形成鲜明对比，后者类似结果仅在一维情形已知。我们还探索当平滑参数 $\sigma$ 随 $n$ 缩放且以足够慢速率收敛至 $0$ 时的渐近性并刻画极限分布。采样分布的维度仅通过前因子（即常数）进入经验 SWD 收敛界。我们给出该前因子对平滑参数与内蕴维度依赖的精确刻画。此结果随后用于推导经典 $W_1$ 关于内蕴维度的新经验收敛速率。作为极限分布理论的应用，我们研究基于 $W_1^\sigma$ 的双样本检验与最小距离估计 (MDE)。我们确立 SWD 检验的渐近有效性，而对于 MDE，我们证明最优估计量及其对应 $W_1^\sigma$ 误差的可测性、几乎必然收敛与极限分布。我们的结果表明 SWD 非常适于高维统计学习与推断。