分布检验中容忍度的代价

我们重新审视容忍分布检验问题。即给定来自未知分布 $p$（定义于 $\{1, \dots, n\}$）的样本，判断其在总变差距离下与参考分布 $q$ 是 $\varepsilon_1$-接近还是 $\varepsilon_2$-远离？尽管过去十年间受到极大关注，该问题仅在极端情形下被充分理解。在无噪设定（即 $\varepsilon_1 = 0$）下样本复杂度为 $\Theta(\sqrt{n})$，强亚线性于定义域大小。在另一极端，当 $\varepsilon_1 = \varepsilon_2/2$ 时，样本复杂度跃升至仅微弱亚线性的 $\Theta(n/\log n)$。然而，关于中间区域所知甚少。我们将分布检验中容忍度的代价作为 $n$、$\varepsilon_1$、$\varepsilon_2$ 的函数完全刻画，仅差一个 $\log n$ 因子。具体而言，我们给出样本复杂度为 $$\tilde \Theta\left(\frac{\sqrt{n}}{\varepsilon_2^{2}} + \frac{n}{\log n} \cdot \max \left\{\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2^2},\left(\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2^2}\right)^{\!\!2}\right\}\right),$$ 从而在两种已知情形间提供了平滑的权衡。我们也对容忍等价检验问题给出了类似刻画，其中 $p$ 与 $q$ 均未知。令人惊讶的是，在这两种情况下，决定样本复杂度的主要量是比值 $\varepsilon_1/\varepsilon_2^2$，而非更直观的 $\varepsilon_1/\varepsilon_2$。尤其具有技术意义的是我们的下界框架，其涉及处理 $\varepsilon_1$ 与 $\varepsilon_2$ 间不对称性所需的新颖逼近论工具，这是以往工作所未有的挑战。