哪些分布距离是次线性可检验的？

给定来自未知分布 $p$ 的样本和分布 $q$ 的描述，$p$ 和 $q$ 是接近还是相距甚远？这个“一致性检验”问题在检验 $p$ 和 $q$ 是否相等或在总变差距离上相距甚远的情况下受到了广泛关注。然而，在最近的工作中，以下问题对于解决分布检验前沿的问题至关重要：- 替代距离：我们能否检验 $p$ 和 $q$ 是否在其他距离（例如 Hellinger 距离）上相距甚远？- 容错性：我们能否检验 $p$ 和 $q$ 何时是接近的，而不是相等的？如果是，是在哪些距离上接近？受这些问题的启发，我们刻画了在多种距离（包括总变差、$\ell_2$、Hellinger、Kullback-Leibler 和 $\chi^2$）下进行分布检验的复杂性。对于每对距离 $d_1$ 和 $d_2$，我们研究了检验 $p$ 和 $q$ 在 $d_1$ 下接近而在 $d_2$ 下远离的复杂性，重点在于识别哪些问题允许强次线性检验器（即复杂度为 $O(n^{1 - \gamma})$ 的检验器，其中 $\gamma > 0$，$n$ 是分布 $p$ 和 $q$ 的支持集大小）。我们为每种情况提供了匹配的上下界。我们还研究了仅拥有来自 $q$ 的样本（等价性检验）的情况，展示了在何时可实现容错性方面与一致性检验的定性差异。我们的算法属于经典的 $\chi^2$-统计范式，但需要关键性的修改以应对我们所考虑的每种距离带来的挑战。最后，我们综述了其他近期结果，旨在作为各种分布检验问题复杂性的参考。