基于拉姆齐理论的多变量分布贴近性检验

我们研究多维分布的统计贴近性（或等价性）检验任务。具体而言，给定对 $\mathbb R^d$ 上两个未知分布 $\mathbf p, \mathbf q$ 的样本访问权限，我们希望区分 $\mathbf p=\mathbf q$ 与 $\|\mathbf p-\mathbf q\|_{A_k} > \epsilon$ 两种情况，其中 $\|\mathbf p-\mathbf q\|_{A_k}$ 表示 $\mathbf p$ 与 $\mathbf q$ 之间的广义 ${A}_k$ 距离——衡量两分布在任何 $k$ 个互不相交的轴对齐矩形集合上的最大差异。我们的主要结果是该问题的首个具有{\em 亚学习}样本复杂度的贴近性检验器，以及近乎匹配的样本复杂度下界。更详细地，我们提供了一种计算高效的贴近性检验器，其样本复杂度为 $O\left((k^{6/7}/ \mathrm{poly}_d(\epsilon)) \log^d(k)\right)$。在下界方面，我们建立了定性匹配的样本复杂度下界 $\Omega(k^{6/7}/\mathrm{poly}(\epsilon))$，即便对 $d=2$ 也成立。这些样本复杂度界限令人惊讶，因为该问题在单变量设定下的样本复杂度为 $\Theta(k^{4/5}/\mathrm{poly}(\epsilon))$。这带来一个有趣的结论：从一维到二维的跃迁导致样本复杂度大幅增加，而 beyond 此后的维度增加则不会。作为我们一般 $A_k$ 检验器的推论，我们获得了针对 $\mathbb R^d$ 上公共未知划分下 $k$-直方图分布对，以及支撑于 $k$ 个未知互不相交轴对齐矩形并集上的均匀分布对的 $d_{\mathrm TV}$-贴近性检验器。我们的算法与下界都必不可少地使用了拉姆齐理论中的工具。