用于概率分布贴近度与$k$-维一致性的简洁量子检验器

我们探索了检验概率分布的贴近度与$k$-维一致性性质这一基本问题的潜在量子加速。贴近度检验是区分两个$n$维分布是否相同或至少在$\ell^1$-或$\ell^2$-距离上$\varepsilon$-远离的问题。我们证明$\ell^1$-与$\ell^2$-贴近度检验的量子查询复杂度分别为$O(\sqrt{n}/\varepsilon)$与$O(1/\varepsilon)$，二者均实现对$\varepsilon$的最优依赖，改进了Gilyén与Li (2020)先前的最佳结果。$k$-维一致性检验是区分$\{0, 1\}^n$上的分布在任意$k$个坐标限制下是否一致或距任一此类分布$\varepsilon$-远离的问题。我们提出了该问题的首个量子算法，查询复杂度为$O(\sqrt{n^k}/\varepsilon)$，相较O'Donnell与Zhao (2018)样本复杂度$O(n^k/\varepsilon^2)$的当前最优经典算法实现了二次加速。此外，当$k = 2$时，由于经典下界$\Omega(n/\varepsilon^2)$的存在，我们的量子算法优于任何经典算法。我们所有的量子算法都相当简单且时间高效，仅使用振幅估计等基本量子子程序。