测试 Ising 模型

给定来自未知多元分布 $p$ 的样本，是否可能区分 $p$ 是其边缘分布的乘积，还是 $p$ 远离每一个乘积分布？类似地，是否可能区分 $p$ 等于给定分布 $q$，还是 $p$ 与 $q$ 彼此远离？这些独立性与拟合优度检验问题在统计学、信息论和理论计算机科学中受到了极大关注，在几个有趣的参数范围内已知有样本最优算法。遗憾的是，人们也已经认识到这些问题在大维度下变得难以处理，需要指数级样本复杂度。受一般分布的指数级下界以及马尔可夫随机场（MRFs）在高维分布建模中普遍存在的启发，我们发起了对结构化多元分布的分布测试研究，特别是 MRFs 的典型例子：Ising 模型。我们证明，在这种结构化设置中，我们可以避免维数灾难，获得独立性和拟合优度检验的样本和时间高效测试器。我们在此过程中面临的关键技术挑战之一是界定 Ising 模型函数的方差。