度量空间中的距离协方差：度量空间中的非参数独立性检验（硕士学位论文）

本论文旨在寻找可分度量空间中非参数独立性问题的解。假设给定来自成对随机元素 i.i.d. 序列的有限样本集合，其中每个边缘分布的取值属于某个可分度量空间。非参数独立性问题提出了如何利用这些样本合理推断边缘随机元素是否独立的疑问。我们将利用 Russell Lyons 提出的度量空间中的所谓距离协方差泛函来尝试回答这一问题。我们证明，如果边缘空间是所谓的强负型度量空间（例如可分 Hilbert 空间），则距离协方差泛函将成为独立性的直接指标。也就是说，可以仅基于该泛函的值直接判定边缘分布是否独立。由于该泛函形式上将联合分布作为自变量，在所提出的非参数独立性问题中其值是未知的。因此，我们构造了距离协方差泛函的估计量，并证明它们表现出可用于构造渐近相合的独立性统计检验的渐近性质。最后，由于这些统计检验的拒绝阈值难以解析处理，我们论证了可以对其进行合理的自助法（bootstrap）估计。