关于度量空间与 Hilbert 空间中的距离协方差

距离协方差是度量两个随机变量之间依赖性的一种测度,这两个变量取值于两个(一般而言不同的)度量空间,参见 Sz\'ekely、Rizzo 和 Bakirov (2007) 以及 Lyons (2013)。已知距离协方差及其推广 $\alpha$-距离协方差可以用几种不同的方式定义,这些方式在某些矩条件下等价。本文考虑其中四种定义,并给出各自的最小矩条件,以及当这些条件不满足时的一些部分结果。本文还研究了变量取值于 Hilbert 空间的特殊情形,并在弱矩条件下证明:两个这样的变量独立当且仅当它们的 ($\alpha$-)距离协方差为 0;这推广了 Lyons (2013) 和 Dehling 等人 (2018+) 的结果。证明使用了 Hilbert 空间情形下距离协方差的新定义,推广了 Sz\'ekely、Rizzo 和 Bakirov (2007) 基于特征函数的欧氏空间定义。