基于傅里叶变换的分布族检验

我们研究检验未知分布是否属于指定分布族这一一般问题。更具体地，给定分布族$\mathcal{P}$和对未知离散分布$\mathbf{P}$的样本访问权限，我们希望（以高概率）区分$\mathbf{P} \in \mathcal{P}$的情况与$\mathbf{P}$在总变距离上距离$\mathcal{P}$中每个分布均为$\epsilon$-远的情况。这是统计学中、以及最近理论计算机科学中受到显著关注的原型假设检验问题。这一一般推断任务的样本复杂度取决于底层分布族$\mathcal{P}$。分布性质检验的黄金标准是设计样本最优且计算高效的算法来解决该任务。本工作的主要贡献是一种简单且通用的检验技术，它适用于所有傅里叶谱满足某种近似稀疏性质的分布族。据我们所知，我们的工作是傅里叶变换在分布检验背景下的首次使用。我们应用基于傅里叶的框架，为以下基本分布族获得近样本最优且计算高效的检验器：独立整数随机变量之和（SIIRVs）、泊松多项分布（PMDs）和离散对数凹分布。对于前两者，我们的工作是文献中首个非平凡的检验器，极大推广了先前关于检验泊松二项分布的工作。对于第三者，我们的检验器在样本和时间复杂度上均改进了先前工作。