离散分布混合的检验

关于大域上分布性质检验的样本复杂度已有大量研究。对许多性质而言，样本复杂度可远小于域大小。例如，在大小为$n$的域上，区分均匀分布与$\ell_1$距离上远离均匀的分布仅需$O(\sqrt{n})$个样本。然而，在存在任意噪声时，即便噪声量很小，情况也截然不同。此时必须区分样本是来自与均匀$\epsilon$接近的分布，还是来自与均匀$(1-\epsilon)$远离的分布。后一任务需要近乎线性于$n$的样本[Valiant 2008, Valiant and Valiant 2011]。本工作中，我们提出一种噪声模型，一方面使检验问题更可处理，另一方面代表了一类丰富的噪声族。在我们的模型中，含噪分布是原分布与噪声的混合，其中噪声对检验者显式已知或通过样本访问已知；噪声形式也先验已知。聚焦于同一性与接近性检验问题引出了如下混合检验问题：给定分布$p, q_1,q_2$的样本，我们能否检验$p$是否为$q_1$与$q_2$的混合？我们在检验者访问分布方式不同的多种场景下考虑这一一般问题，并表明该问题确实更可处理。我们的结果表明，检验器的样本复杂度与经典非混合情形完全相同。