高维单纯形在噪声环境下的学习基本界限

本文建立了从含噪数据中学习 $\mathbb{R}^K$ 中高维单纯形的样本复杂度界限。具体而言，考虑从未知单纯形中均匀抽取的 $n$ 个独立同分布样本，每个样本被未知方差的高斯加性噪声污染。我们证明存在一个算法，在高概率下输出一个与真实单纯形的 $\ell_2$ 或总变差（TV）距离不超过 $\varepsilon$ 的单纯形，所需样本量满足 $n \ge (K^2/\varepsilon^2) e^{\mathcal{O}(K/\mathrm{SNR}^2)}$，其中 $\mathrm{SNR}$ 为信噪比。扩展我们先前的研究~\citep{saberi2023sample}，我们推导了新的信息论下界，表明在 TV 距离 $\varepsilon$ 下进行单纯形估计至少需要 $n \ge \Omega(K^3 \sigma^2/\varepsilon^2 + K/\varepsilon)$ 个样本，其中 $\sigma^2$ 表示噪声方差。在无噪声情形下，我们的下界 $n \ge \Omega(K/\varepsilon)$ 与已知上界在常数因子内匹配。我们通过证明当 $\mathrm{SNR} \ge \Omega(K^{1/2})$ 时，噪声情形的复杂度与无噪声情形一致，解决了开放问题。我们的分析利用了样本压缩技术（Ashtiani et al., 2018），并引入了一种基于傅里叶方法的从含噪观测中恢复分布的新方法，该方法有望应用于单纯形学习之外的其他领域。