基于积和统计量的离散 Hill 统计过程及其有限维渐近理论

本文引入了一类积和统计量 $T_n(p)=\frac{1}{k}\sum_{h=1}^p \sum_{(s_1...s_h)\in P(p,h)} \sum_{i_1=l+1}^{i_0} ... \sum_{i_h=l+1}^{i_{h-1}} i_h \prod_{i=i_1}^{i_h} \frac{(Y_{n-i+1,n}-Y_{n-i,n})^{s_i}}{s_i!}$（其中 $l,$ $k=i_{0}$ 和 n 为正整数，$0<l<k<n,$ $P(p,h)$ 是将 $\ p>0$ 划分为 $\ h$ 个正整数的所有有序划分集合，$Y_{1,n}\leq ...\leq Y_{n,n}$ 是基于独立随机变量序列 $Y_{1},$ $Y_{2},...$ 的次序统计量，其基础分布为 $\mathbb{P}(Y\leq y)=G(Y)=F(e^{y})$）。对于每个 p，$T_{n}(p)^{-1/p}$ 是其上尾在无穷远处呈正则变化的分布指数的估计量。该族统计量推广了所谓的 Hill 统计量和 Dekkers-Einmahl-De Haan 统计量。我们研究了过程 ${T_{n}(p),1\leq p<\infty}$ 的极限定律，并借助组合技术完整描述了高斯极限过程的协方差函数。许多关于 Hill 统计量的现有结果（涉及渐近正态性和重对数律）被推广到极值域内任何分布函数的每个边缘 $T_{n}(p,k)$（$p$ 固定）。在此过程中，我们获得了与平行四边形内连接对角的 paths 数相关的特殊数类。