具有受限素因子的整数的分布 I

设$E_0,\ldots,E_n$为素数集的一个划分，并定义$E_j(x) := \sum_{p \in E_j \atop p \leq x} \frac{1}{p}$。定义$\pi(x;\mathbf{E},\mathbf{k})$为对每个$j$在$E_j$中具有$k_j$个素因子的整数$n \leq x$的个数。基本的概率启发式表明，建模为随机变量分布函数的$x^{-1}\pi(x;\mathbf{E},\mathbf{k})$应满足带参数向量$(E_0(x),\ldots,E_n(x))$的联合泊松律，当$x \rightarrow \infty$时。我们证明了$\pi(x;\mathbf{E},\mathbf{k})$的一个渐近公式，在温和假设下，当对每个$j$有$E_j(x)^2 \leq k_j \leq \log^{\frac{2}{3}-\epsilon} x$时，该公式与这些启发式相矛盾。作为一个特殊应用，我们证明了关于具有来自特定算术级数的素因子的整数的渐近公式，推广了Delange的一个结果。