关于Hardy-Littlewood-Pólya序列的置换

设${\cal H}=(q_1, \ldots q_r)$是有限个互质整数集，$n_1, n_2, \ldots$是由$\cal H$生成的乘法半群并按递增顺序排列。这类序列的分布在数论中已被深入研究，并具有显著的遍历和概率性质。例如，序列$\{n_kx\}$的渐近性质与独立同分布随机变量非常相似；这里$\{\cdot\}$表示小数部分。然而，该序列的行为敏感地依赖于$(n_k)$的生成元，概率和数论效应的结合导致独特且高度有趣的渐近行为。特别是，$\{n_kx\}$的性质不是置换不变的，这与i.i.d.行为形成对比。本文的目的是证明$\{n_kx\}$满足一个强独立性性质（“交错混合”），从而能够确定置换和$S_N (\sigma)= \sum_{k=1}^N f(n_{\sigma(k)} x)$的精确渐近行为。我们将看到，$S_N(\sigma)$的行为仍然遵循独立随机变量之和的行为，但其增长速度（依赖于$\sigma$）由丢番图逼近理论中的经典Gál函数给出。给出了一些描述可能增长函数类别的例子。