带原子分布的最长递增子序列及其非齐次 Hammersley 过程

Hammersley 与 Versik-Kerov 的著名结果表明，长度为 $L_n$ 的最长递增子序列（在 $n$ 个独立同分布的连续随机变量中）的增长率约为 $2\sqrt{n}$。本文研究带原子分布的 $L_n$ 的渐近行为。对于纯离散随机变量，我们通过一个变分问题来刻画 $L_n$ 的渐近阶数，并给出经典分布的显式估计。证明方法依赖于与非齐次离散时间连续空间 Hammersley 过程的耦合。这表明与连续情形不同，离散情形在 $\mathcal{O}(1)$ 与 $o(\sqrt{n})$ 之间呈现出广泛的增长率范围，这取决于分布尾部的行为。我们随后可轻易推导出任意分布 $L_n$ 的渐近结果。