偏置高斯随机游走的最长递增子序列中的纪录、漂移与长度

最长递增子序列（LIS）的研究主要集中在零均值、对称的步长增量上。我们数值研究了偏置高斯随机游走的 LIS，其步长增量为单位方差且具有正漂移 $\mu_{p} = \Phi^{-1}(p)$，其中 $p = \mathbb{P}(\xi>0)$。与对称情况不同，我们发现对于每一个固定的 $p>1/2$，平均 LIS 长度呈线性增长，$\langle L_{n}(p)\rangle \sim a(p)n$，其中 $a(p)$ 从 $p=1/2$ 处的 0 增长到 $p \to 1$ 时的 1。纪录计数也是线性的，系数为 $\lambda(p)$，由 Spitzer 的公式给出平均递增梯阶时刻；且随着 $p$ 的增大，LIS 越来越靠近这一纪录骨架。当 $p=1/2$ 时，纪录骨架坍缩为 Sparre Andersen 的 $\sqrt{n}$ 比例尺，而 LIS 返回到对称有限方差的 $\sqrt{n}\log{n}$ 规模。在该极限附近，$a(\mu_{p})-\lambda(\mu_{p})$ 相对于漂移的线性依赖趋于消失，尽管我们的数据尚未解析出单一的幂律。我们还观察到 $L_{n}$ 的经验分布在该奇点处发生变化：在 $p=1/2$ 时类似于对数正态分布，而在每一个抽样的 $p>1/2$ 时则符合高斯行为的波动。