随机游走、词度量与平面上的轨道分布

给定一个可数无限群 $G$ 作用于某空间 $X$、一族递增有限子集 $G_n$ 及 $x\in X$，一个自然的问题是集合 $G_nx$ 形成何种渐近分布。更形式化地，我们对 $X$ 上的函数 $f$ 定义和式 $S_n(f,x)=\sum_{g\in G_n}f(gx)$，并问是否存在函数 $\Psi(n):\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ 使得序列 $\Psi(n)S_n(f,x)$ 收敛。这是一个在各种设定下被研究的微妙问题。我们首先给出当元素从作用于圆上的 $SL(2,\mathbb{Z})$ 中特定格经由精心选取的词度量选出时的完整解。此外，证明了所得测度关于某随机游动是平稳的，并与丢番图逼近领域中一个被充分研究的函数有紧密关联。接着我们研究当元素由作用于 $\mathbb{R}^2$ 上的 $SL(2,\mathbb{R})$ 上的随机游动选出时的渐近分布问题。我们给出了初始问题的一个变体，产生了一些令人惊讶且有趣的结果。