随机化的渐近对称性与群不变性

对称性是大量数学的基石，许多概率分布具有由其对一组群作用的不变性所刻画的对称性。因此，许多数学与统计方法依赖于此种对称性的成立，且若对称性被破坏则表面上会失效。本文考虑在何种条件下概率测度序列渐近地获得此种对称性或对一组群作用的不变性。考虑到高斯分布的诸多对称性，本文有效地提出了一种非参数类型的中心极限定理。即，高维随机向量的 Lipschitz 函数将渐近地关于某些紧拓扑群的作用不变。其应用包括 $\ell_p^n$-球中均匀随机点的部分迭代对数律，以及经典参数统计检验与其随机化对应物之间即便在不变性假设被违背时的渐近等价性。