大样本协方差矩阵特征矩阵的渐近性质

设 $S_n=\frac{1}{n}X_nX_n^*$，其中 $X_n=\{X_{ij}\}$ 是一个 $p\times n$ 矩阵，其元素为独立同分布的复标准化随机变量，具有有限四阶矩。设 $Y_n(\mathbf {t}_1,\mathbf {t}_2,\sigma)=\sqrt{p}({\mathbf {x}}_n(\mathbf {t}_1)^*(S_n+\sigma I)^{-1}{\mathbf {x}}_n(\mathbf {t}_2)-{\mathbf {x}}_n(\mathbf {t}_1)^*{\mathbf {x}}_n(\mathbf {t}_2)m_n(\sigma))$，其中 $\sigma>0$，$m_n(\sigma)=\int\frac{dF_{y_n}(x)}{x+\sigma}$，$F_{y_n}(x)$ 是参数 $y_n=p/n$ 的 Marčenko–Pastur 律；当 $n\to\infty$ 时，$y_n$ 收敛到一个正常数，而 ${\mathbf {x}}_n(\mathbf {t}_1)$ 和 ${\mathbf {x}}_n(\mathbf {t}_2)$ 是 ${\Bbb{C}}^p$ 中的单位向量，其指标 $\mathbf {t}_1$ 和 $\mathbf {t}_2$ 取值于有限维欧几里得空间的一个紧子集。本文证明了序列 $Y_n(\mathbf {t}_1,\mathbf {t}_2,\sigma)$ 弱收敛到一个 $(2m+1)$ 维高斯过程。这一结果为如下猜想提供了进一步证据：$S_n$ 的特征矩阵的分布渐近接近于 Haar 分布酉矩阵的分布。